使用步驟
- 輸入平均數 μ 和標準差 σ；標準正態分佈就是 0 和 1。
- 選要求的機率：小於 a、大於 a、a 和 b 之間、區間以外，或者由機率求 x。
- 輸入 a（和 b），結果和陰影圖會馬上更新。
引數說明
- P(X < a)
- 小於 a 的機率，也就是累積機率，等於曲線下 a 左邊的面積。乘以 100 就是百分位。
- 由機率求 x
- 選「x 左側」時求的是分位數（如 95% 分位數）；選「中間」時求的是包住這個機率的對稱區間，例如 0.95 對應 μ ± 1.96σ。
- Z 分數
- z = (x − μ) ÷ σ，表示 x 離平均數幾個標準差。
常用的幾個值（標準正態分佈）
| 要求的 | 結果 |
|---|---|
| P(Z < 1.5) | 0.9332 |
| P(Z > 1.5) | 0.0668 |
| P(−1 < Z < 1) | 0.6827 |
| P(−1.96 < Z < 1.96) | 0.9500 |
| P(−3 < Z < 3) | 0.9973 |
| 95% 分位數（單側臨界值） | 1.6449 |
| 97.5% 分位數（雙側 0.05 的臨界值） | 1.9600 |
這就是常說的 68–95–99.7 法則：大約 68% 的資料落在平均數 ±1 個標準差內，95% 在 ±2 個內，99.7% 在 ±3 個內。
示例：智商分佈
智商測驗一般按平均 100、標準差 15 標定（預設裡可以直接選）。
- 智商 130 以下的比例：P(X < 130) = 0.9772，所以 130 分以上的人約佔 2.3%。
- 智商 85 到 115 之間：P(85 < X < 115) = 0.6827，約三分之二的人。
- 前 10% 的分數線：選「由機率求 x」，機率 0.10，「x 右側」，得到 119.2。
正態分佈表怎麼對應
教材後面的標準正態分佈表，給的就是 P(Z < z)。比如表裡 z = 1.50 那一格是 0.9332，和這裡選 μ = 0、σ = 1、P(X < a)、a = 1.5 的結果一樣。不是標準正態分佈的，先用 z = (x − μ) ÷ σ 換算，這個工具會自動做這一步。
常見問題
1.96 是怎麼來的？
標準正態分佈裡，−1.96 到 1.96 之間的面積是 95%。在「由機率求 x」裡輸入 0.95、選「中間」就能得到。
考試成績近似正態分佈，平均 75 分、標準差 10，考 90 分超過了多少人？
選 P(X < a)，μ = 75，σ = 10，a = 90，結果 0.9332，大約超過了 93% 的人。
離散資料（如人數）能用嗎？
二項分佈在樣本大時可以用正態近似，記得做連續性校正：求「不超過 k」時用 k + 0.5。
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