使い方
- 平均 μ と標準偏差 σ を入力します。標準正規分布は 0 と 1 です。
- 求めたいものを選びます。P(X < a)、P(X > a)、P(a < X < b)、a–b の外側、確率から求める、のいずれかです。
- a（と b）を入力します。入力に合わせて、結果と塗りつぶした曲線が更新されます。
オプションの説明
- P(X < a)
- a より小さい値が出る確率で、累積確率のことです。曲線の a より左側の面積にあたります。100倍するとパーセンタイルです。
- 確率から求める
- 「x より左」は分位点（95パーセンタイルなど）を返し、「中央」はその確率を含む左右対称の区間を返します。たとえば 0.95 なら μ ± 1.96σ です。
- Zスコア
- z = (x − μ) / σ。x が平均から標準偏差いくつ分離れているかを表します。
よく使う値（標準正規分布）
| 求めるもの | 結果 |
|---|---|
| P(Z < 1.5) | 0.9332 |
| P(Z > 1.5) | 0.0668 |
| P(−1 < Z < 1) | 0.6827 |
| P(−1.96 < Z < 1.96) | 0.9500 |
| P(−3 < Z < 3) | 0.9973 |
| 95パーセンタイル（片側の臨界値） | 1.6449 |
| 97.5パーセンタイル（両側5%の臨界値） | 1.9600 |
これが 68–95–99.7 の法則で、値のおよそ68%が平均から標準偏差1つ分以内、95%が2つ分以内、99.7%が3つ分以内に入ります。
例：IQ
IQ テストは、平均100、標準偏差15になるように調整されています（IQ のプリセットを選びます）。
- 130未満の割合：P(X < 130) = 0.9772 なので、130を超える人は約2.3%です。
- 85から115の間：P(85 < X < 115) = 0.6827 で、人の約3分の2です。
- 上位10%のしきい値：「確率から求める」で 0.10、「x より右」を選ぶと 119.2 になります。
正規分布表の見方
教科書の巻末にある標準正規分布表は、P(Z < z) の一覧です。z = 1.50 の値は 0.9332 で、μ = 0、σ = 1、P(X < a)、a = 1.5 のときと同じ結果です。ほかの正規分布では、先に z = (x − μ) / σ で変換します。このツールはその変換も自動でやってくれます。
よくある質問
1.96 はどこから来た数字ですか？
標準正規分布では、面積の95%が −1.96 から 1.96 の間に入ります。「確率から求める」を選び、0.95 を入れて「中央」を選ぶと確認できます。
テストの平均が75点、標準偏差が10点です。90点未満の人の割合は？
P(X < a) を選び、μ = 75、σ = 10、a = 90 と入力します。結果は 0.9332 で、約93%です。
度数のデータにも使えますか？
標本が大きければ、二項分布は正規分布で近似できます。連続性の補正を使い、「k 以下」なら k + 0.5 を入れてください。
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