使用步骤
- 输入平均数 μ 和标准差 σ；标准正态分布就是 0 和 1。
- 选要求的概率：小于 a、大于 a、a 和 b 之间、区间以外，或者由概率求 x。
- 输入 a（和 b），结果和阴影图会马上更新。
参数说明
- P(X < a)
- 小于 a 的概率，也就是累积概率，等于曲线下 a 左边的面积。乘以 100 就是百分位。
- 由概率求 x
- 选「x 左侧」时求的是分位数（如 95% 分位数）；选「中间」时求的是包住这个概率的对称区间，例如 0.95 对应 μ ± 1.96σ。
- Z 分数
- z = (x − μ) ÷ σ，表示 x 离平均数几个标准差。
常用的几个值（标准正态分布）
| 要求的 | 结果 |
|---|---|
| P(Z < 1.5) | 0.9332 |
| P(Z > 1.5) | 0.0668 |
| P(−1 < Z < 1) | 0.6827 |
| P(−1.96 < Z < 1.96) | 0.9500 |
| P(−3 < Z < 3) | 0.9973 |
| 95% 分位数（单侧临界值） | 1.6449 |
| 97.5% 分位数（双侧 0.05 的临界值） | 1.9600 |
这就是常说的 68–95–99.7 法则：大约 68% 的数据落在平均数 ±1 个标准差内，95% 在 ±2 个内，99.7% 在 ±3 个内。
示例：智商分布
智商测验一般按平均 100、标准差 15 标定（预设里可以直接选）。
- 智商 130 以下的比例：P(X < 130) = 0.9772，所以 130 分以上的人约占 2.3%。
- 智商 85 到 115 之间：P(85 < X < 115) = 0.6827，约三分之二的人。
- 前 10% 的分数线：选「由概率求 x」，概率 0.10，「x 右侧」，得到 119.2。
正态分布表怎么对应
教材后面的标准正态分布表，给的就是 P(Z < z)。比如表里 z = 1.50 那一格是 0.9332，和这里选 μ = 0、σ = 1、P(X < a)、a = 1.5 的结果一样。不是标准正态分布的，先用 z = (x − μ) ÷ σ 换算，这个工具会自动做这一步。
常见问题
1.96 是怎么来的？
标准正态分布里，−1.96 到 1.96 之间的面积是 95%。在「由概率求 x」里输入 0.95、选「中间」就能得到。
考试成绩近似正态分布，平均 75 分、标准差 10，考 90 分超过了多少人？
选 P(X < a)，μ = 75，σ = 10，a = 90，结果 0.9332，大约超过了 93% 的人。
离散数据（如人数）能用吗？
二项分布在样本大时可以用正态近似，记得做连续性校正：求「不超过 k」时用 k + 0.5。
隐私说明
本工具完全在浏览器中运行，文件和文本都在你的设备上处理，不会上传到我们的服务器。