ggT und kgV berechnen – Rechner mit Rechenweg

ggT- und kgV-Rechner

Geben Sie zwei oder mehr ganze Zahlen ein und erhalten Sie ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT) und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV). Der Rechenweg wird auf zwei Arten gezeigt, per Primfaktorzerlegung und mit dem euklidischen Algorithmus, damit Sie Hausaufgaben prüfen oder das Verfahren lernen können.

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Zahlen

Zwei oder mehr ganze Zahlen, durch Kommas oder Leerzeichen getrennt, jeweils bis 10^15.

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

180

Verfahren mit Primfaktorzerlegung

1
12 in Primfaktoren zerlegen12 = 2² × 3
2
18 in Primfaktoren zerlegen18 = 2 × 3²
3
30 in Primfaktoren zerlegen30 = 2 × 3 × 5
4
ggT: Multiplizieren Sie die Primfaktoren, die alle Zahlen gemeinsam haben, jeweils mit der kleinsten Potenz2 × 3 = 6
5
kgV: Multiplizieren Sie alle vorkommenden Primfaktoren, jeweils mit der größten Potenz2² × 3² × 5 = 180

Euklidischer Algorithmus (12 und 18)

1
Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere, dann den Divisor durch den Rest, und wiederholen Sie das. Der letzte Rest ungleich null ist der ggT.
2
18 = 1 × 12 + 6
3
12 = 2 × 6 + 0

Bei mehr als zwei Zahlen bestimmen Sie den ggT der ersten beiden, dann den ggT aus diesem Ergebnis und der nächsten Zahl und so weiter.

So funktioniert es

Geben Sie die Zahlen durch Kommas oder Leerzeichen getrennt ein, zum Beispiel 12, 18, 30.
Lesen Sie oben den ggT und das kgV ab.
Verfolgen Sie darunter die Schritte der Primfaktorzerlegung und des euklidischen Algorithmus.

Optionen erklärt

Verfahren mit Primfaktorzerlegung: Schreiben Sie jede Zahl als Produkt von Primzahlen. Für den ggT werden die Primfaktoren genommen, die alle Zahlen gemeinsam haben, jeweils mit der kleinsten Potenz; für das kgV alle vorkommenden Primfaktoren, jeweils mit der größten Potenz.
Euklidischer Algorithmus: Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere, dann den Divisor durch den Rest, bis der Rest 0 ist. Der letzte Rest ungleich null ist der ggT. Das geht auch bei sehr großen Zahlen schnell.

Beispiele mit Lösung

Zahlen	ggT	kgV
12, 18	6	36
8, 12, 20	4	120
24, 36, 60	12	360
17, 23	1	391

Ist der ggT 1, wie bei 17 und 23, nennt man die Zahlen teilerfremd, und ihr kgV ist einfach ihr Produkt.

Wofür man sie braucht

Der ggT dient zum Kürzen von Brüchen (Zähler und Nenner durch den ggT teilen) und zum Aufteilen in gleich große Gruppen: Die größte quadratische Fliese, die einen Boden von 12 × 18 genau ausfüllt, misst 6 × 6.

Das kgV liefert den Hauptnenner beim Addieren von Brüchen und beantwortet Fragen wie „Wann treffen sie wieder zusammen?“: Busse, die alle 12 und alle 18 Minuten abfahren, fahren nach 36 Minuten wieder gemeinsam los.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen ggT, GCD und HCF?

Es gibt keinen. Größter gemeinsamer Teiler, greatest common divisor (GCD) und highest common factor (HCF) sind verschiedene Namen für dasselbe, je nach Land und Schulbuch.

Wie hängen ggT und kgV zusammen?

Bei zwei Zahlen gilt ggT × kgV = Produkt der Zahlen. Für 12 und 18 ist 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

Wie groß dürfen die Zahlen sein?

Jede Zahl darf bis zu 10^15 groß sein. Ist das kgV größer als etwa 9 × 10^15, wird es in wissenschaftlicher Schreibweise angezeigt.

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