So funktioniert es
- Geben Sie die Koeffizienten a, b und c ein. Dezimalzahlen und Brüche wie 1/2 sind erlaubt.
- Lesen Sie die Lösungen, die Diskriminante, den Scheitelpunkt und die faktorisierte Form ab.
- Verfolgen Sie den Rechenweg und prüfen Sie den Graphen, auf dem die Lösungen die Punkte sind, an denen die Kurve die x-Achse schneidet.
Optionen erklärt
- Diskriminante Δ = b² − 4ac
- Positiv: zwei verschiedene reelle Lösungen; null: eine doppelte Lösung; negativ: keine reellen, aber zwei komplexe Lösungen.
- Exakte Lösungen
- Wurzeln werden vereinfacht (√72 = 6√2) und gemeinsame Faktoren gekürzt, sodass x = (−2 ± √12) / 2 als −1 ± √3 erscheint. Dezimalzahlen und Brüche in a, b und c werden vorher beseitigt, indem die ganze Gleichung mit derselben Zahl multipliziert wird, was die Lösungen nicht ändert.
- Scheitelpunkt und Achse
- Der Scheitelpunkt ist (−b/2a, c − b²/4a), der höchste oder tiefste Punkt der Parabel; die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade durch ihn.
Beispiele
| Gleichung | Diskriminante | Lösungen |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | 3 und 2 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | 2 (doppelt) |
| x² + 2x − 2 = 0 | 12 | −1 ± √3 |
| x² + 2x + 5 = 0 | −16 | −1 ± 2i |
| 2x² + 3x − 2 = 0 | 25 | 1/2 und −2 |
Die Mitternachtsformel
Für ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 lauten die Lösungen x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Das ± liefert die beiden Lösungen: eine mit + und eine mit −.
Häufig gestellte Fragen
Was ist, wenn a = 0?
Dann ist die Gleichung linear (bx + c = 0) und hat eine Lösung, x = −c/b. Der Rechner behandelt auch diesen Fall.
Wann lässt sich eine quadratische Gleichung faktorisieren?
Über den rationalen Zahlen genau dann, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist. In diesem Fall wird die faktorisierte Form angezeigt, z. B. 2x² + 3x − 2 = (2x − 1)(x + 2).
Warum werden komplexe Lösungen mit i geschrieben?
i ist die Quadratwurzel aus −1. Bei Δ < 0 lauten die Lösungen a ± bi, ein Paar konjugiert komplexer Zahlen; der Graph berührt die x-Achse nicht.
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