Как пользоваться
- Введите коэффициенты a, b и c. Подойдут десятичные дроби и обыкновенные, например 1/2.
- Посмотрите корни, дискриминант, вершину и разложение на множители.
- Изучите шаги решения и график: корни — это точки пересечения кривой с осью x.
Описание параметров
- Дискриминант Δ = b² − 4ac
- Положительный — два различных действительных корня; ноль — один кратный корень; отрицательный — действительных корней нет, но есть два комплексных.
- Точные корни
- Квадратные корни упрощаются (√72 = 6√2), общие множители сокращаются, поэтому x = (−2 ± √12) / 2 показывается как −1 ± √3. Десятичные и обыкновенные дроби в a, b и c сначала убираются умножением всего уравнения на одно число, что не меняет корней.
- Вершина и ось
- Вершина — это (−b/2a, c − b²/4a), точка поворота параболы; ось симметрии — вертикальная прямая через неё.
Примеры
| Уравнение | Дискриминант | Корни |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | 3 и 2 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | 2 (кратный) |
| x² + 2x − 2 = 0 | 12 | −1 ± √3 |
| x² + 2x + 5 = 0 | −16 | −1 ± 2i |
| 2x² + 3x − 2 = 0 | 25 | 1/2 и −2 |
Формула корней квадратного уравнения
Для ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0 корни равны x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Знак ± даёт два корня: один с плюсом, другой с минусом.
Часто задаваемые вопросы
Что если a = 0?
Тогда уравнение линейное (bx + c = 0) и имеет одно решение x = −c/b. Калькулятор обрабатывает и этот случай.
Когда квадратный трёхчлен раскладывается на множители?
Над рациональными числами — ровно тогда, когда дискриминант является полным квадратом. В этом случае показывается разложение, например 2x² + 3x − 2 = (2x − 1)(x + 2).
Почему комплексные корни записывают с i?
i — это квадратный корень из −1. При Δ < 0 корни имеют вид a ± bi и образуют пару комплексно сопряжённых чисел; график не касается оси x.
Конфиденциальность
Этот инструмент работает полностью в браузере. Ваши файлы и текст обрабатываются на вашем устройстве и никогда не загружаются на наши серверы.