Jak używać
- Wpisz współczynniki a, b i c. Mogą być ułamkami dziesiętnymi i zwykłymi, np. 1/2.
- Odczytaj pierwiastki, wyróżnik, wierzchołek i postać iloczynową.
- Prześledź kroki i sprawdź wykres — pierwiastki to punkty, w których krzywa przecina oś x.
Opis opcji
- Wyróżnik Δ = b² − 4ac
- Dodatni — dwa różne pierwiastki rzeczywiste; zero — jeden pierwiastek podwójny; ujemny — brak pierwiastków rzeczywistych, ale są dwa zespolone.
- Dokładne pierwiastki
- Pierwiastki kwadratowe są upraszczane (√72 = 6√2), a wspólne czynniki skracane, więc x = (−2 ± √12) / 2 pokazujemy jako −1 ± √3. Ułamki dziesiętne i zwykłe w a, b i c usuwamy najpierw, mnożąc całe równanie przez tę samą liczbę, co nie zmienia pierwiastków.
- Wierzchołek i oś
- Wierzchołek to (−b/2a, c − b²/4a), punkt zwrotny paraboli; oś symetrii to pionowa prosta przechodząca przez niego.
Przykłady
| Równanie | Wyróżnik | Pierwiastki |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | 3 i 2 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | 2 (podwójny) |
| x² + 2x − 2 = 0 | 12 | −1 ± √3 |
| x² + 2x + 5 = 0 | −16 | −1 ± 2i |
| 2x² + 3x − 2 = 0 | 25 | 1/2 i −2 |
Wzór na pierwiastki równania kwadratowego
Dla ax² + bx + c = 0 przy a ≠ 0 pierwiastki wynoszą x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Znak ± daje dwa pierwiastki: jeden z plusem, drugi z minusem.
Najczęściej zadawane pytania
Co jeśli a = 0?
Wtedy równanie jest liniowe (bx + c = 0) i ma jedno rozwiązanie, x = −c/b. Kalkulator obsługuje także ten przypadek.
Kiedy trójmian kwadratowy da się rozłożyć na czynniki?
W liczbach wymiernych dokładnie wtedy, gdy wyróżnik jest kwadratem liczby całkowitej. W takim przypadku pokazujemy postać iloczynową, np. 2x² + 3x − 2 = (2x − 1)(x + 2).
Dlaczego pierwiastki zespolone zapisuje się z i?
i to pierwiastek kwadratowy z −1. Gdy Δ < 0, pierwiastki mają postać a ± bi i tworzą parę sprzężoną; wykres nie dotyka osi x.
Prywatność
To narzędzie działa w całości w przeglądarce. Twoje pliki i tekst są przetwarzane na Twoim urządzeniu i nigdy nie trafiają na nasze serwery.