Calcul du PGCD et du PPCM — avec les étapes détaillées

Calculatrice PGCD et PPCM

Saisissez deux nombres entiers ou plus pour obtenir leur plus grand commun diviseur (PGCD) et leur plus petit commun multiple (PPCM). Le détail est présenté de deux façons, par décomposition en facteurs premiers et par l’algorithme d’Euclide, pour vérifier vos devoirs ou apprendre la méthode.

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Nombres

Deux nombres entiers ou plus, séparés par des virgules ou des espaces, chacun jusqu’à 10^15.

Plus grand commun diviseur (PGCD)

Plus petit commun multiple (PPCM)

180

Méthode par décomposition en facteurs premiers

1
Décomposer 12 en facteurs premiers12 = 2² × 3
2
Décomposer 18 en facteurs premiers18 = 2 × 3²
3
Décomposer 30 en facteurs premiers30 = 2 × 3 × 5
4
PGCD : multipliez les facteurs premiers communs à tous les nombres, chacun avec son plus petit exposant2 × 3 = 6
5
PPCM : multipliez tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposant2² × 3² × 5 = 180

Algorithme d’Euclide (12 et 18)

1
Divisez le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et recommencez. Le dernier reste non nul est le PGCD.
2
18 = 1 × 12 + 6
3
12 = 2 × 6 + 0

Avec plus de deux nombres, cherchez le PGCD des deux premiers, puis le PGCD de ce résultat et du nombre suivant, et ainsi de suite.

Mode d’emploi

Saisissez les nombres séparés par des virgules ou des espaces, par exemple 12, 18, 30.
Lisez le PGCD et le PPCM en haut.
Suivez ensuite les étapes de la décomposition en facteurs premiers et de l’algorithme d’Euclide.

Explication des options

Méthode par décomposition en facteurs premiers: Écrivez chaque nombre sous forme de produit de facteurs premiers. Le PGCD utilise les facteurs communs à tous les nombres, chacun avec son plus petit exposant ; le PPCM utilise tous les facteurs qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposant.
Algorithme d’Euclide: Divisez le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. La méthode reste rapide même avec de très grands nombres.

Exemples détaillés

Nombres	PGCD	PPCM
12, 18	6	36
8, 12, 20	4	120
24, 36, 60	12	360
17, 23	1	391

Quand le PGCD vaut 1, comme pour 17 et 23, les nombres sont dits premiers entre eux et leur PPCM est simplement leur produit.

À quoi servent-ils ?

Le PGCD sert à simplifier des fractions (on divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD) et à répartir en groupes égaux : le plus grand carrelage carré qui recouvre exactement un sol de 12 × 18 mesure 6 × 6.

Le PPCM sert à trouver un dénominateur commun pour additionner des fractions et à répondre aux questions du type « quand coïncident-ils de nouveau ? » : des bus qui partent toutes les 12 et toutes les 18 minutes repartent ensemble au bout de 36 minutes.

Questions fréquentes

Quelle différence y a-t-il entre PGCD, GCD et HCF ?

Aucune. Plus grand commun diviseur, greatest common divisor (GCD) et highest common factor (HCF) désignent la même chose ; la dénomination varie selon les pays.

Quel lien y a-t-il entre le PGCD et le PPCM ?

Pour deux nombres, PGCD × PPCM = le produit des deux nombres. Pour 12 et 18, 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

Jusqu’à quelle taille les nombres peuvent-ils aller ?

Chaque nombre peut aller jusqu’à 10^15. Si le PPCM dépasse environ 9 × 10^15, il est affiché en notation scientifique.

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